Aumann の同意定理

"自分と意見がちがう人は自分とは違う本を違う順序で読んだだけ"

分割に順序関係を入れる:

$ P \leq Q \iff (\forall p \in P.\ \exists q \in Q.\ p \subseteq q)

結び (finest common coarsening) は、Pの要素pと異なるQの要素qでp, qが共通部分を持つようなものについて和集合を取る、それと共通部分を持つPの要素p'を取ってきてそれと和集合を取る、それと共通部分を持つQの要素q'を取ってきて…という操作をジグザグにくりかえしていくと作れる。

$ \{ \{1, 2\}, \{3\}, \{4\}\} \cup \{\{1\}, \{2,3\}, \{4\}\}

は、

もとの集合をXとして、結びの単位元は map (\x -> {x}) X で与えられる。

交わりはおそらく、「Pでどの分割に属しているか」p「Qでどの分割に属しているか」qを両方聞いて、「p,qのどちらにも属するもの」「pだけに属するもの」「qだけに属するもの」「どちらにも属さないもの」の4つの新しい分割を作れば良いはず。

$ P \cap Q = \{p\cap q\ |\ p\in P , q\in Q\}

交わりの単位元は{X}

なぜAumannの共有知識の定義がLewisらの共有知識の定義と同じなのかも説明している。

以下のpdfはモチベーションがよくわからないやつ。

人狼でAumannの同意定理

Aumannの同意定理

ベイズ的に推論する主体A氏とB氏がいる。2人は同じ事前確率分布を持つとする。

その後、時間が経過し、2人は別々の経験をし、知識を得る。

このとき、ある事象sについてのA氏とB氏の事後確率が共有知識であるとき、A氏にとっての事象sの主観確率pと、B氏にとっての事象sの主観確率qは等しい。

このpdfで、式の意味はわからないが式変形だけ追ってみた。

https://gyazo.com/c0fd5ed17fdc074b016b640cb0dbb945

https://gyazo.com/3e12135ce670b9b8fb51b8fe2ca2909e

https://gyazo.com/e5f778a7ce0fcb04a2ba05a322d1dcd0

qについての同様になるためp=q

→共有知識のpdfでの定義とAumannの定義が同値であることの証明。

この分割は、同じ分割の要素同士が、人が同じ命題で条件付けすることを表す。

つまり、サイコロの例で言えば、最初は全部1/6というところから2人が出発し、2人はサイコロについて、「偶数/奇数?」「2より大きい?」「3で割ったら何になる?」などの別々の質問を用意しておく。

というような状況か。

つまり、A氏が「1かそうでないか」B氏が「3で割ったら?」と聞いたなら、

$ P_1 = \{\{1\}, \{2,3,4,5,6\}\}

$ P_2 = \{\{3, 6\}, \{1,4\}, \{2, 5\}\}

$ P_\ast = \{\}

となる。

そこで、E(p, q, s)を、A氏が事象sに確率pを割り当て、B氏が事象sに確率qを割り当てる世界の集合とする。

つまり、

E(p, q, s) = { w : p = prob(s | P₁(w)) and q = prob(s | P₂(w)) }

と定義する。

A氏が「偶数? 奇数?」B氏が「2より大きい?」と聞いたなら、

E(1/3, 1/4, 「3で割って1になる」) = {3, 5, 4, 6}

E(1/3, 1/2, 「3で割って1になる」) = {1,2}

となる。

$ P_1(w_1) = P_1(w_2), P_2(w_2) = P_2(w_3), P_3(w_2) = P_3(w_3)